プライスの共分散法の証明

小集団が幾つか集まって全体集団をつくっているとき、全体集団のなかでの戦略Ａの平均利得が戦略Ｂの平均利得を上回るための必要十分条件は

　　　Cov(xi,ui)＋Ｅ[xi(１-xi)Δui]＞０

である。 ただし
　　　ｘiは小集団 Ｉ における戦略Ａの割合
　　　ｕiは小集団 Ｉ の平均利得
　　　Δuiは小集団 Ｉ におけるＡとＢの平均利得の差
　　　Covは小集団の大きさniで重みづけた共分散
　　　Ｅは小集団の大きさniで重みづけた重み付き平均
である。

　[証明]
　　　　Ｎ＝Σｎi　　　　（全体集団の人数）
　　　　ｘ＝Σｎiｘi/Ｎ　（全体集団でのＡの割合）
　　　　ｕ＝Σｎiｕi/Ｎ　（全体集団の平均利得）　　とすると

　　Ｅ[xi(１-xi)Δui]＝Σｎiｘi(１－ｘi)Δｕi/Ｎ
　　Cov(xi,ui)＝Σｎi(ｘi－ｘ)(ｕi－ｕ)/Ｎ
　　　　　　　＝Σｎiｘiｕi/Ｎ－ｕΣｎiｘi/Ｎ－ｘΣｎiｕi/Ｎ＋ｘｕΣｎi/Ｎ
　　　　　　　＝Σｎiｘiｕi/Ｎ－ｕｘ－ｘｕ＋ｘｕ
　　　　　　　＝Σｎiｘiｕi/Ｎ－ｘｕ　
である。

　　これらを
　　Cov(xi,ui)＋Ｅ[xi(１-xi)Δui]＞０　に代入すると
　　Σｎiｘiｕi/Ｎ－ｘｕ＋Σｎiｘi(１－ｘi)Δｕi/Ｎ＞０
　　Σｎiｘiｕi－Ｎｘｕ＋Σｎiｘi(１－ｘi)Δｕi＞０　式１

　　ここで
　　　ｕi＝ｘiｕia＋(１－ｘi)ｕib
　　　　 ＝ｘi(ｕia－ｕib)＋ｕib
　　　　 ＝ｘiΔｕi＋ｕib
　なので、これを式１に代入すると
　　　Σｎiｘi(ｘiΔｕi＋ｕib)－Ｎｘｕ＋Σｎiｘi(１－ｘi)Δｕi＞０
　　　ΣｎiｘiｘiΔｕi＋Σｎiｘiｕib－Ｎｘｕ＋ΣｎiｘiΔｕi－ΣｎiｘiｘiΔｕi＞０
　　　Σｎiｘiｕib＋ΣｎiｘiΔｕi－Ｎｘｕ＞０
　　　Σｎiｘiｕia－Ｎｘｕ＞０　（∵Δｕi＝ｕia－ｕib）

　これに
　　　Ｎｕ＝Σｎiｕi
　　　　　＝Σｎi(ｘiｕia＋(１－ｘi)ｕib) を代入すると

　　　Σｎiｘiｕia－ｘΣｎi(ｘiｕia＋(１－ｘi)ｕib)＞０
　　　Σｎiｘiｕia－ｘΣｎiｘiｕia－ｘΣｎi(１－ｘi)ｕib＞０
　　　(１－ｘ)Σｎiｘiｕia＞ｘΣｎi(１－ｘi)ｕib
　　　Σｎiｘiｕia/ｘ＞Σｎi(１－ｘi)ｕib/(１－ｘ)

　この式の左辺は全体集団におけるＡの平均利得、右辺は全体集団におけるＢの平均利得をあらわす。 　

　したがって
　　　Cov(xi,ui)＋Ｅ[xi(１-xi)Δui]＞０
　ならば、全体集団において
　　　Ａの平均利得＞Ｂの平均利得　が成立するし、その逆も成立する。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[証明終わり]

　関連記事：「社会的ジレンマとプライスの共分散法」