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2006年4月 7日 (金)

プライスの共分散法の証明

小集団が幾つか集まって全体集団をつくっているとき、全体集団のなかでの戦略Aの平均利得が戦略Bの平均利得を上回るための必要十分条件は

   Cov(xi,ui)+E[xi(1-xi)Δui]>0

である。 ただし
   xiは小集団 I における戦略Aの割合
   uiは小集団 I の平均利得
   Δuiは小集団 I におけるAとBの平均利得の差
   Covは小集団の大きさniで重みづけた共分散
   Eは小集団の大きさniで重みづけた重み付き平均
である。

 [証明]
    N=Σni    (全体集団の人数)
    x=Σnixi/N (全体集団でのAの割合)
    u=Σniui/N (全体集団の平均利得)  とすると

  E[xi(1-xi)Δui]=Σnixi(1-xi)Δui/N
  Cov(xi,ui)=Σni(xi-x)(ui-u)/N
       =Σnixiui/N-uΣnixi/N-xΣniui/N+xuΣni/N
       =Σnixiui/N-ux-xu+xu
       =Σnixiui/N-xu 
である。

  これらを
  Cov(xi,ui)+E[xi(1-xi)Δui]>0 に代入すると
  Σnixiui/N-xu+Σnixi(1-xi)Δui/N>0
  Σnixiui-Nxu+Σnixi(1-xi)Δui>0 式1

  ここで
   ui=xiuia+(1-xi)uib
     =xi(uia-uib)+uib
     =xiΔui+uib
 なので、これを式1に代入すると
   Σnixi(xiΔui+uib)-Nxu+Σnixi(1-xi)Δui>0
   ΣnixixiΔui+Σnixiuib-Nxu+ΣnixiΔui-ΣnixixiΔui>0
   Σnixiuib+ΣnixiΔui-Nxu>0
   Σnixiuia-Nxu>0 (∵Δui=uia-uib)

 これに
   Nu=Σniui
     =Σni(xiuia+(1-xi)uib) を代入すると

   Σnixiuia-xΣni(xiuia+(1-xi)uib)>0
   Σnixiuia-xΣnixiuia-xΣni(1-xi)uib>0
   (1-x)Σnixiuia>xΣni(1-xi)uib
   Σnixiuia/x>Σni(1-xi)uib/(1-x)

 この式の左辺は全体集団におけるAの平均利得、右辺は全体集団におけるBの平均利得をあらわす。  

 したがって
   Cov(xi,ui)+E[xi(1-xi)Δui]>0
 ならば、全体集団において
   Aの平均利得>Bの平均利得 が成立するし、その逆も成立する。
                                           [証明終わり]

 関連記事:「社会的ジレンマとプライスの共分散法

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