学習ダイナミクスの場合

　遺伝ダイナミクスの場合は、ある程度親子の戦略が一致していればプライスの共分散法の条件でＣ行動が増加することが分かった。しかし、学習ダイナミクスの場合は一般には増加するとは限らない。例えば、プレーヤーが小集団の中で戦略の模倣学習を行う場合には、小集団内では常にＤ行動の利得がＣ行動の利得を上回るのでＣ行動が集団内模倣学習で増加することはない。

　あるいは試行錯誤学習の場合は、自分がＣ行動を採ったときの利得とＤ行動を採ったときの利得の大小でどちらを採るかがきまるので、

　　　　Ｄ(ｋ－１)＜Ｃ(ｋ)

であるような社会的ジレンマ（弱いジレンマ）の場合は試行錯誤学習でＣ行動が増加するが

　　　　Ｄ(ｋ－１)＞Ｃ(ｋ)

であるような社会的ジレンマ（強いジレンマ）の場合は試行錯誤学習でＤ行動が増加する。

　同様に、プレーヤーが小集団内の戦略分布に最適反応する場合も弱いジレンマではＣ行動が増加するが、強いジレンマではＤ行動が増加するようになる。

　以上の考察を一覧表にすると

　　学習タイプ＼ジレンマ　｜　弱いジレンマ　強いジレンマ

　　－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　　　　　試行錯誤　　　　｜　　Ｃ増加　　　　Ｄ増加

　　　　　集団内模倣　　　｜　　Ｄ増加　　　　Ｄ増加

　　　　　集団間模倣　　　｜　ＣかＤ増加　　ＣかＤ増加

　　　　　最適反応　　　　｜　　Ｃ増加　　　　Ｄ増加

となる。表中で集団間模倣とあるのは自分の所属する小集団外の誰かの戦略を模倣するタイプの学習で、Ｃ行動者の多い小集団のＣ行動者を模倣の対象として選んだ場合には、Ｃ行動が模倣される可能性があるので、ＣかＤ増加と表記してある。

　この表から、弱いジレンマの場合にはＣ行動が増える場合が多いが、強いジレンマの場合は集団間模倣が生じる場合しかＣ行動が増加しないことがわかる。

　といっても、集団間模倣で常にＣ行動が増加する訳ではないので、いかにそのための条件を考察してみよう。

　簡単のために、すべての小集団は同じｎ人の人数を持ち、そのうちｋ人がＣ行動、ｎ－ｋ人がＤ行動を採る小集団がＩ(ｋ)個存在するものと考える。

　プレーヤーは微小時間dtの間にαdtの確率で戦略の見直しを行い、小集団内、小集団間を問わずに任意に一人選んだ参照者の利得が自分より高ければ参照者の戦略を採用し、さもなければそれまでの戦略を維持するものとする。

　このとき例えばｘ人がＣ行動、ｎ－ｘ人がＤ行動を採る小集団でＣ行動の人数ｘが増える条件を考えてみる。微小時間dtの間にｘαdt人のＣ行動者と(ｎ－ｘ)αdt人のＤ行動者が戦略の見直しを行うことになる。

　ここでＣ行動者がランダムに一人選んだ対象者が「自分より利得の高いＤ行動者」である確率を考えてみる。ｙをＤ(ｙ)＝Ｃ(ｘ)を満たす値とすると、全体集団のなかに「自分より利得の高いＤ行動者」は

　　　　Σ[k>y](ｎ－ｋ)Ｉ(ｋ)　人

存在するので、そのような相手を参照する確率は

　　　　Σ[k>y](ｎ－ｋ)Ｉ(ｋ)/(Ｎ－１)

となる（Ｎは全体集団の人数）。　　

　したがって、この小集団で微小時間dtに戦略をＣからＤに変更する人数は

　　　　ｘαdtΣ[k>y](ｎ－ｋ)Ｉ(ｋ)/(Ｎ－１)人

となる。

　次にＤ行動者がランダムに一人選んだ対象者が「自分より利得の高いＣ行動者」である確率を考えてみると、ｚをＣ(ｚ)＝Ｄ(ｘ)を満たす値とすると、

　　　　Σ[k>z]ｋＩ(ｋ)/(Ｎ－１)

となる。

　したがって、微小時間dtに戦略をＤからＣに変更する人数は

　　　　(ｎ－ｘ)αdtΣ[k>z]ｋＩ(ｋ)/(Ｎ－１)人

となる。

　これらより、微小時間dtの間のｘの変化率は

　　　　dx/dt＝α[(ｎ－ｘ)Σ[k>z]ｋＩ(ｋ)－ｘΣ[k>y](ｎ－ｋ)Ｉ(ｋ)]/(Ｎ－１)　

と表すことができる。また、この小集団でｘが増えるための必要十分条件は

　　　　(ｎ－ｘ)Σ[k>z]ｋＩ(ｋ)＞ｘΣ[k>y](ｎ－ｋ)Ｉ(ｋ)　

であることも分かる。

遺伝ダイナミクスの場合

　プライスの共分散法はＣ行動の平均利得がＤ行動の平均利得を上回る必要十分条件を示しているが、後で示すように学習ダイナミクスの場合はこの条件が成立していてもＣ行動が増加するとは限らない。

　しかし、遺伝ダイナミクスの場合は

　　・利得が適応度（子供の数の平均）を示す

　　・親子の戦略が完全に一致する

の２条件を満たすときには平均利得の高い行動が増加することが知られている（レプリケーターダイナミクス）。

　ただし、親子の戦略が完全に一致することは通常はありえないので、ここでは親子の戦略がある程度は一致するがある程度は異なる場合も考えておこう。

　Ｃ行動を採る親からＣ行動を採る子供が生まれる確率をｐ、Ｄ行動を採る子供が生まれる確率を１－ｐとする。同様に、Ｄ行動を採る親からＤ行動を採る子供が生まれる確率をｐ、Ｃ行動を採る子供が生まれる確率を１－ｐとする。またＣ行動を採る親の子供の数の平均（平均適応度）をｗc、Ｄ行動を採る親の平均適応度をｗdとする。

　現在Ｎ人中Ｎｘ人がＣ行動を採る親で、Ｎ(１－ｘ)人がＤ行動を採る親であるとすると、次の世代でＣ行動を採る人は

　　　　Ｎｘｐｗc＋Ｎ(１－ｘ)(１－ｐ)ｗd　人

Ｄ行動を採る人は

　　　　Ｎｘ(１－ｐ)ｗc＋Ｎ(１－ｘ)ｐｗd　人

となる。

　これより、次世代でＣ行動を採る人の割合ｘ'は

　　　　ｘ'＝[Ｎｘｐｗc＋Ｎ(１－ｘ)(１－ｐ)ｗd]/[Ｎｘｗc＋Ｎ(１－ｘ)ｗd]　

　　　　　 ＝[ｘｐｗc＋(１－ｘ)(１－ｐ)ｗd]/[ｘｗc＋(１－ｘ)ｗd]　

　この式をｘ'＞ｘに代入して整理すると、次世代でＣ行動を採る人の割合が現在よりも増加する必要十分条件はｐ＞1/2のときには

　　　　　ｗc＞ｗd

であることが分かる。

　ｐ＞1/2は子供の戦略がある程度親の戦略と一致していることを示しているので、その場合には適応度で表した利得が

　　　　　Cov(xi,ui)＋E[xi(1-xi)Δui]＞０

を満たすときにはｗc＞ｗdとなるので、子供の代でＣ行動の割合が増加することが分かる。

協力行動が増加する条件について

　社会的ジレンマ状況におけるＣ行動は、通常Ｄ行動よりも利得が低いため、遺伝ダイナミクスや学習ダイナミクスで増加することはない。しかし、小集団がいくつか存在して、行為の外部性の及ぶ範囲が小集団内部に限定される場合には、集団全体の平均利得でＣ行動の利得がＤ行動の利得を上回る場合が存在、そのための条件が知られている（プライスの共分散法。Price 1970）。

　ただし社会的ジレンマの場合、平均利得で上回るだけではＣ行動が自動的に増えるわけではない。本報告では、遺伝ダイナミクスの場合と学習ダイナミクスの場合にわけて、Ｃ行動が増加する条件を探ることを試みる。

　　１　プライスの共分散法

　まず、プライスの共分散法について紹介する。

　全体集団の中に小集団がｍ個存在し、それぞれの小集団で社会的ジレンマゲームが行われているとする。ここでｉ番目の小集団の

　　　　人数をｎi

　　　　Ｃ行動者の割合をｘi

　　　　Ｃ行動者の利得をｕic、Ｄ行動者の利得をｕid

　　　　利得の差をΔｕi＝ｕic－ｕid

　　　　小集団全体の平均利得をｕi

とする。社会的ジレンマ状況では一般に小集団内部ではＣ行動よりＤ行動の利得が高いので

　　　　Δｕi＝ｕic－ｕid＜０

である。一方、Ｃ行動者を多く含む小集団ほど平均利得が高いので

　　　　Ｃov(xi,ui)＞０

となる。ここでＣov(xi,ui)はｘiとｕiの重み付き共分散で

　　　　Ｃov(xi,ui)＝Σｎi(ｘi-ｘ)(ｕi-ｕ)/Σｎi

で定義される（ただしｘ＝Σｎiｘi/Σｎi、ｕ＝Σｎiｕi/Σｎi）。　　

　このとき、全体集団において

　　　　Ｃ行動の平均利得＞Ｄ行動の平均利得

となる必要十分条件は

　　　　Ｃov(xi,ui)＋Ｅ[xi(1-xi)Δui]＞０

である（プライスの共分散法）。ここでＥは重み付き平均で

　　　　Ｅ[xi(1-xi)Δui]＝Σｎiｘi(1-ｘi)Δｕi/Σｎi

で定義される。

プライスの共分散法の証明

小集団が幾つか集まって全体集団をつくっているとき、全体集団のなかでの戦略Ａの平均利得が戦略Ｂの平均利得を上回るための必要十分条件は

　　　Cov(xi,ui)＋Ｅ[xi(１-xi)Δui]＞０

である。 ただし
　　　ｘiは小集団 Ｉ における戦略Ａの割合
　　　ｕiは小集団 Ｉ の平均利得
　　　Δuiは小集団 Ｉ におけるＡとＢの平均利得の差
　　　Covは小集団の大きさniで重みづけた共分散
　　　Ｅは小集団の大きさniで重みづけた重み付き平均
である。

　[証明]
　　　　Ｎ＝Σｎi　　　　（全体集団の人数）
　　　　ｘ＝Σｎiｘi/Ｎ　（全体集団でのＡの割合）
　　　　ｕ＝Σｎiｕi/Ｎ　（全体集団の平均利得）　　とすると

　　Ｅ[xi(１-xi)Δui]＝Σｎiｘi(１－ｘi)Δｕi/Ｎ
　　Cov(xi,ui)＝Σｎi(ｘi－ｘ)(ｕi－ｕ)/Ｎ
　　　　　　　＝Σｎiｘiｕi/Ｎ－ｕΣｎiｘi/Ｎ－ｘΣｎiｕi/Ｎ＋ｘｕΣｎi/Ｎ
　　　　　　　＝Σｎiｘiｕi/Ｎ－ｕｘ－ｘｕ＋ｘｕ
　　　　　　　＝Σｎiｘiｕi/Ｎ－ｘｕ　
である。

　　これらを
　　Cov(xi,ui)＋Ｅ[xi(１-xi)Δui]＞０　に代入すると
　　Σｎiｘiｕi/Ｎ－ｘｕ＋Σｎiｘi(１－ｘi)Δｕi/Ｎ＞０
　　Σｎiｘiｕi－Ｎｘｕ＋Σｎiｘi(１－ｘi)Δｕi＞０　式１

　　ここで
　　　ｕi＝ｘiｕia＋(１－ｘi)ｕib
　　　　 ＝ｘi(ｕia－ｕib)＋ｕib
　　　　 ＝ｘiΔｕi＋ｕib
　なので、これを式１に代入すると
　　　Σｎiｘi(ｘiΔｕi＋ｕib)－Ｎｘｕ＋Σｎiｘi(１－ｘi)Δｕi＞０
　　　ΣｎiｘiｘiΔｕi＋Σｎiｘiｕib－Ｎｘｕ＋ΣｎiｘiΔｕi－ΣｎiｘiｘiΔｕi＞０
　　　Σｎiｘiｕib＋ΣｎiｘiΔｕi－Ｎｘｕ＞０
　　　Σｎiｘiｕia－Ｎｘｕ＞０　（∵Δｕi＝ｕia－ｕib）

　これに
　　　Ｎｕ＝Σｎiｕi
　　　　　＝Σｎi(ｘiｕia＋(１－ｘi)ｕib) を代入すると

　　　Σｎiｘiｕia－ｘΣｎi(ｘiｕia＋(１－ｘi)ｕib)＞０
　　　Σｎiｘiｕia－ｘΣｎiｘiｕia－ｘΣｎi(１－ｘi)ｕib＞０
　　　(１－ｘ)Σｎiｘiｕia＞ｘΣｎi(１－ｘi)ｕib
　　　Σｎiｘiｕia/ｘ＞Σｎi(１－ｘi)ｕib/(１－ｘ)

　この式の左辺は全体集団におけるＡの平均利得、右辺は全体集団におけるＢの平均利得をあらわす。 　

　したがって
　　　Cov(xi,ui)＋Ｅ[xi(１-xi)Δui]＞０
　ならば、全体集団において
　　　Ａの平均利得＞Ｂの平均利得　が成立するし、その逆も成立する。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[証明終わり]

　関連記事：「社会的ジレンマとプライスの共分散法」